高中数学应用问题的教学
文兴奎分享
摘要：培养和提高中学生的数学应用意识，是中学数学教育教学的迫切要求。本文对高
中数学应用问题的教学进行了探讨。
关键词：数学应用问题；数学应用意识；学生
作者简介：文兴奎，任教于甘肃临洮二中。
培养和提高中学生的数学应用意识，是中学数学教育教学的迫切要求，在中学数学教学过程的始终都应注重学生应用意识的培养。近年来高考中，对应用问题的考查逐年增大了。
一、高中数学教材中的应用问题
1.每一章的序言都编排了一个现实中的应用问题，引入该章的知识内容，以突出知识的实际背景。如在第三章《数列》以趣味话题：“国王对国际象棋棋盘发明者奖励的麦粒数 ”的计算作为章头序言，激发学习欲望，增加教材内容的趣味性。
在教材的编排上，既用通俗易懂的语言陈述问题，又附以插图增强直观形象性、趣味性。
2.在研究“具体问题”时以实际例子引入课题
高中数学的十章内容中，分别就概念引入、实例说明、数学表示等方面有三十一处都恰当地运用了实际问题和具体情景。如用“不同重量信件的邮资问题”表示分段函数，用功和位移的关系引入向量数量积的概念等。实例引入增强了问题的实际背景，为顺利解决问题作了铺垫。
3.例题中的应用问题
例题中安排应用问题，一方面可以培养学生阅读能力、分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，而且通过范例讲解，使学生掌握解决应用问题的一般思想和方法。新教材的十章内容中共有 41 个例题是涉及数学应用的，占例题总数的14.6%，它们都非常接近学生的生活实际和所学知识，难易适中，示范性强。
4.练习、习题、复习题中增加了应用问题的分量
为使学生巩固所学知识，逐步提高分析问题、解决问题的能力，新教材在练习题、习题、复习题中增加了大量的应用问题，其中练习题有45题，占总数的12.4%；习题有 105题，占总数的18.15%；复习题有50题，占总数的14.91%。分别涉及增长率、行程问题、物理、化学、生物问题、储蓄等各个方面，量大面宽，情景新颖，融知识性、趣味性、自主实践性于一体。
二、高中数学应用题问题的教学实践
高中学生年龄一般在15~17周岁，他们认识过程的各种心理成份虽已接近成人的水平，但智力活动带有明显的随意性，其抽象思维从“经验型”向“理论型”急剧转化，能够逐步摆脱具体形象和直接经验的限制，借助于概念进行合乎逻辑的抽象思维活动，开始在教师帮助下独立地搜集事实材料，进行分析综合，抽象概括事物的本质属性。因此，应结合学生的心理特点和思维规律进行应用问题的教学。
1.重视基本方法和基本解题思想的渗透与训练
为培养学生的应用意识，提高学生分析问题、解决问题的能力，教学中首先应结合具体问题，教给学生解答应用题的基本方法、步骤和建模过程、建模思想。
教学应用题的常规思路是：将实际问题抽象、概括、转化——数学问题——解决数学问题——回答实际问题。具体可按以下程序进行：
(1)审题：由于数学应用的广泛性及实际问题非数学情景的多样性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的问题，舍弃与数学无关的因素，抽象转化成数学问题，分清条件和结论，理顺数量关系。为此，引导学生从粗读到细研，冷静、缜密地阅读题目，明确问题中所含的量及相关量的数学关系。对学生生疏情景、名词、概念作必要的解释和提示，以帮助学生将实际问题数学化。
(2)建模：明白题意后，再进一步引导学生分析题目中各量的特点，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代数式表示，它们之间存在着怎样的联系？将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建成数学模型。
(3)求解数学问题，得出数学结论
(4)还原：将得到的结论，根据实际意义适当增删，还原为实际问题。
例：某城市现有人口总数100万人，如果年自然增长率为1.2%，写出该城市人口总数y(人)与年份x(年)的函数关系式：
这是一道人口增长率问题，教学时为帮助学生审题，笔者在指导学生阅读题时提出以下要求：
(1)粗读，题目中涉及到哪些关键语句，哪些有用信息？解释“年自然增长率”的词义，指出：城市现有人口、年份、增长率，城市变化后的人口数等关键量。
(2)细想，问题中各量哪些是已知的，哪些是未知的，存在怎样的关系？
(3)建模，启发学生分析这道题与学过的、见过的哪些问题有联系，它们是如何解决的？对此有何帮助？
学生讨论后，从特殊的1年、2年……抽象归纳，寻找规律，探讨x年的城市总人口问题：y=100(1+1.2%)x
2.引导学生将应用问题进行归类
为了增强学生的建模能力，在应用问题的教学中，及时结合所学章节，引导学生将应用问题进行归类使学生掌握熟悉的实际原型，发挥“定势思维”的积极作用，可顺利解决数学建模的困难，如将高中的应用题归为：①增长率(或减少率)问题；②行程问题；③合力的问题；④排列组合问题；⑤最值问题；⑥概率问题等。这样，学生遇到应用问题时，针对问题情景，就可以通过类比寻找记忆中与题目相类似的实际事件，利用联想建立数学模型。
3.针对不同内容采取不同教法
高中新教材的数学应用问题遍及教材的各个方面，教学时针对不同内容，有的放矢，各有侧重，就会取得较好的效果。
(1)章头序言，指导阅读，留下悬念
对图文并茂的章头序言，由教师简单提出或由学生阅读，使学生稍作碰壁，留下解题悬念，增强解决问题的欲望。
(2)重视例题的示范作用
例题是连接理论知识与问题之间的桥梁，示范性强。因此在讲解例题时应在分析题目各个量的特点关系、建模、解决数学问题、还原为实际问题诸环节都应很好地起示范作用，教师应重视例题的分析与讲解，积极进行启发式教学，培养学生分析问题、解决问题、寻求基本实际模型的能力，重视数学理论知识与实际应用的联系。
(3)指导练习，巩固方法
充分运用课本的练习题、习题、复习题，让学生自己动手、动脑，运用所学的知识解决实际问题。练习题位于具体的理论知识后面，建模方向性强，教师只需稍作指导；而习题则更多利用教师批改作业的机会，主要纠正数学语言转化过程及解题的规范过程；复习题由于综合性强，学生解决有困难，教师要给予必要的指导、提示。
(4)课外阅读，补充提高
对于不作教学要求的阅读材料，根据教学进度提出阅读要求，布置学生进行课外阅读，培养学生的阅读能力，扩大知识面，激发学生的学习兴趣。
(5)研究性课题，重视自主探究
“研究性课题”是新教材中的一个专题性栏目，具有探究性和应用性的特点，它既是所学内容的实际综合应用，又对学生探究和解决问题具有较好的训练价值。
总之，在数学应用问题的教学和对学生学习的指导中，应重视介绍数学知识的来龙去脉。
一般情况下，数学知识的产生不外乎实际的需要和数学内部的需要，高中阶段所学的知识大都是来源于实际生活，许多数学知识都有具体直接的应用，如高二运用不等式的性质计算最值、线性规划，高三的概率统计等，应该让学生充分实践和体验这些知识是如何使用的，在此基础上让学生感受和体验数学的应用价值。
其次，学会运用数学语言描述周围世界中出现的数学现象
数学语言可以清楚、简洁、准确地描述日常生活中的许多现象，让学生养成乐意运用数学语言进行交流的习惯，既可以增强学生应用数学的意识，也可以提高学生运用数学的能力。在教学中，需帮助学生形成一个开阔的视野，了解数学对于人类发展的应用价值。在知识实践、能力培养的基础上，教师应主动地向学生展示现实生活中的数学信息和数学的广泛应用，向学生提供丰富的阅读材料，让学生感受到现实生活与数学知识是密切相关、处处联系的。
最后，关于应用问题中的算法问题。新教材要求用科学计算器处理、计算数值，在例题、习题中给出的数据都比较复杂，笔者认为高中数学应用题的重点是数学建模，所以，正确建模，明白算法、算理应占主流，一味追求“实际”，多次出现一些复杂数据，会冲淡主要问题的解决。事实上，每节中只要有一两道实际数据的题目，其他的可选择特殊数据或干脆用字母表示，不仅可突出算理，而且会加强应用问题的分析，节省时间，体现字母代数的优越性。
中数学应用问题的教学进行了探讨。
关键词：数学应用问题；数学应用意识；学生
作者简介：文兴奎，任教于甘肃临洮二中。
培养和提高中学生的数学应用意识，是中学数学教育教学的迫切要求，在中学数学教学过程的始终都应注重学生应用意识的培养。近年来高考中，对应用问题的考查逐年增大了。
一、高中数学教材中的应用问题
1.每一章的序言都编排了一个现实中的应用问题，引入该章的知识内容，以突出知识的实际背景。如在第三章《数列》以趣味话题：“国王对国际象棋棋盘发明者奖励的麦粒数 ”的计算作为章头序言，激发学习欲望，增加教材内容的趣味性。
在教材的编排上，既用通俗易懂的语言陈述问题，又附以插图增强直观形象性、趣味性。
2.在研究“具体问题”时以实际例子引入课题
高中数学的十章内容中，分别就概念引入、实例说明、数学表示等方面有三十一处都恰当地运用了实际问题和具体情景。如用“不同重量信件的邮资问题”表示分段函数，用功和位移的关系引入向量数量积的概念等。实例引入增强了问题的实际背景，为顺利解决问题作了铺垫。
3.例题中的应用问题
例题中安排应用问题，一方面可以培养学生阅读能力、分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，而且通过范例讲解，使学生掌握解决应用问题的一般思想和方法。新教材的十章内容中共有 41 个例题是涉及数学应用的，占例题总数的14.6%，它们都非常接近学生的生活实际和所学知识，难易适中，示范性强。
4.练习、习题、复习题中增加了应用问题的分量
为使学生巩固所学知识，逐步提高分析问题、解决问题的能力，新教材在练习题、习题、复习题中增加了大量的应用问题，其中练习题有45题，占总数的12.4%；习题有 105题，占总数的18.15%；复习题有50题，占总数的14.91%。分别涉及增长率、行程问题、物理、化学、生物问题、储蓄等各个方面，量大面宽，情景新颖，融知识性、趣味性、自主实践性于一体。
二、高中数学应用题问题的教学实践
高中学生年龄一般在15~17周岁，他们认识过程的各种心理成份虽已接近成人的水平，但智力活动带有明显的随意性，其抽象思维从“经验型”向“理论型”急剧转化，能够逐步摆脱具体形象和直接经验的限制，借助于概念进行合乎逻辑的抽象思维活动，开始在教师帮助下独立地搜集事实材料，进行分析综合，抽象概括事物的本质属性。因此，应结合学生的心理特点和思维规律进行应用问题的教学。
1.重视基本方法和基本解题思想的渗透与训练
为培养学生的应用意识，提高学生分析问题、解决问题的能力，教学中首先应结合具体问题，教给学生解答应用题的基本方法、步骤和建模过程、建模思想。
教学应用题的常规思路是：将实际问题抽象、概括、转化——数学问题——解决数学问题——回答实际问题。具体可按以下程序进行：
(1)审题：由于数学应用的广泛性及实际问题非数学情景的多样性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的问题，舍弃与数学无关的因素，抽象转化成数学问题，分清条件和结论，理顺数量关系。为此，引导学生从粗读到细研，冷静、缜密地阅读题目，明确问题中所含的量及相关量的数学关系。对学生生疏情景、名词、概念作必要的解释和提示，以帮助学生将实际问题数学化。
(2)建模：明白题意后，再进一步引导学生分析题目中各量的特点，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代数式表示，它们之间存在着怎样的联系？将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建成数学模型。
(3)求解数学问题，得出数学结论
(4)还原：将得到的结论，根据实际意义适当增删，还原为实际问题。
例：某城市现有人口总数100万人，如果年自然增长率为1.2%，写出该城市人口总数y(人)与年份x(年)的函数关系式：
这是一道人口增长率问题，教学时为帮助学生审题，笔者在指导学生阅读题时提出以下要求：
(1)粗读，题目中涉及到哪些关键语句，哪些有用信息？解释“年自然增长率”的词义，指出：城市现有人口、年份、增长率，城市变化后的人口数等关键量。
(2)细想，问题中各量哪些是已知的，哪些是未知的，存在怎样的关系？
(3)建模，启发学生分析这道题与学过的、见过的哪些问题有联系，它们是如何解决的？对此有何帮助？
学生讨论后，从特殊的1年、2年……抽象归纳，寻找规律，探讨x年的城市总人口问题：y=100(1+1.2%)x
2.引导学生将应用问题进行归类
为了增强学生的建模能力，在应用问题的教学中，及时结合所学章节，引导学生将应用问题进行归类使学生掌握熟悉的实际原型，发挥“定势思维”的积极作用，可顺利解决数学建模的困难，如将高中的应用题归为：①增长率(或减少率)问题；②行程问题；③合力的问题；④排列组合问题；⑤最值问题；⑥概率问题等。这样，学生遇到应用问题时，针对问题情景，就可以通过类比寻找记忆中与题目相类似的实际事件，利用联想建立数学模型。
3.针对不同内容采取不同教法
高中新教材的数学应用问题遍及教材的各个方面，教学时针对不同内容，有的放矢，各有侧重，就会取得较好的效果。
(1)章头序言，指导阅读，留下悬念
对图文并茂的章头序言，由教师简单提出或由学生阅读，使学生稍作碰壁，留下解题悬念，增强解决问题的欲望。
(2)重视例题的示范作用
例题是连接理论知识与问题之间的桥梁，示范性强。因此在讲解例题时应在分析题目各个量的特点关系、建模、解决数学问题、还原为实际问题诸环节都应很好地起示范作用，教师应重视例题的分析与讲解，积极进行启发式教学，培养学生分析问题、解决问题、寻求基本实际模型的能力，重视数学理论知识与实际应用的联系。
(3)指导练习，巩固方法
充分运用课本的练习题、习题、复习题，让学生自己动手、动脑，运用所学的知识解决实际问题。练习题位于具体的理论知识后面，建模方向性强，教师只需稍作指导；而习题则更多利用教师批改作业的机会，主要纠正数学语言转化过程及解题的规范过程；复习题由于综合性强，学生解决有困难，教师要给予必要的指导、提示。
(4)课外阅读，补充提高
对于不作教学要求的阅读材料，根据教学进度提出阅读要求，布置学生进行课外阅读，培养学生的阅读能力，扩大知识面，激发学生的学习兴趣。
(5)研究性课题，重视自主探究
“研究性课题”是新教材中的一个专题性栏目，具有探究性和应用性的特点，它既是所学内容的实际综合应用，又对学生探究和解决问题具有较好的训练价值。
总之，在数学应用问题的教学和对学生学习的指导中，应重视介绍数学知识的来龙去脉。
一般情况下，数学知识的产生不外乎实际的需要和数学内部的需要，高中阶段所学的知识大都是来源于实际生活，许多数学知识都有具体直接的应用，如高二运用不等式的性质计算最值、线性规划，高三的概率统计等，应该让学生充分实践和体验这些知识是如何使用的，在此基础上让学生感受和体验数学的应用价值。
其次，学会运用数学语言描述周围世界中出现的数学现象
数学语言可以清楚、简洁、准确地描述日常生活中的许多现象，让学生养成乐意运用数学语言进行交流的习惯，既可以增强学生应用数学的意识，也可以提高学生运用数学的能力。在教学中，需帮助学生形成一个开阔的视野，了解数学对于人类发展的应用价值。在知识实践、能力培养的基础上，教师应主动地向学生展示现实生活中的数学信息和数学的广泛应用，向学生提供丰富的阅读材料，让学生感受到现实生活与数学知识是密切相关、处处联系的。
最后，关于应用问题中的算法问题。新教材要求用科学计算器处理、计算数值，在例题、习题中给出的数据都比较复杂，笔者认为高中数学应用题的重点是数学建模，所以，正确建模，明白算法、算理应占主流，一味追求“实际”，多次出现一些复杂数据，会冲淡主要问题的解决。事实上，每节中只要有一两道实际数据的题目，其他的可选择特殊数据或干脆用字母表示，不仅可突出算理，而且会加强应用问题的分析，节省时间，体现字母代数的优越性。
