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高中数学函数单调性教案

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  单调性,也叫函数的增减性。是对某个区间而言的,它是一个局部概念。下面学习啦小编为你整理了高中数学函数单调性教案,希望对你有帮助。

  高中函数单调性教案

教学基本信息
课题 函数的单调性
学科 数学 学段 高中 年级 高一
相关
领域
函数
教材 书名:《普通高中课程标准实验教科书数学1·必修B》
出版社:人民教育出版社      出版日期:2007年4月
1.指导思想与理论依据
建构主义认为,学习者的知识是在一定的情境下,借助他人的帮助,如人与人之间的协作、交流、利用必要的信息等等,通过意义建构而获得的。建构主义数学观认为,教学设计要根据学生原有知识和思维习惯设计数学活动,创设情境,让学生实现意义建构。
《普通高中数学课程标准(实验)》指出:“高中数学课程应倡导自主探索等学习数学的方式,这些方式有助于发挥学生学习的主动性,使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程。”
要求学生“理解基本的数学概念、数学结论的本质,了解概念、结论等产生的背景、应用,体会其中所蕴涵的数学思想和方法,以及它们在后续学习中的作用。”
2.教学背景分析
学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数的基础上对函数的增减性有一个初步的感性认识,在此学习单调性是对函数概念的延续和拓展,对进一步探索、研究函数的其它性质有着示范性的作用,又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础。
单调性起着承上启下的作用,一方面,是初中学习内容的深化,使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识。另一方面,函数的单调性为后面学习指数函数、对数函数、三角函数及数列这种特殊的函数打下基础,与不等式、求函数的值域、最值,导数等都有着紧密的联系。
通过初中对函数的学习,学生已具备了一定的观察事物能力,抽象归纳的能力和语言转换能力。在此学习单调性,有助于学生从感性思维到理性思维的过渡。
 3.教学目标(含重、难点)
知识与技能:
(1)从形与数两方面理解单调性的概念
(2)绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法
过程与方法:
(1)通过对函数单调性定义的探究,提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高推理论证能力
(2)通过对函数单调性定义的探究,体验数形结合思想方法
(3)经历观察发现、抽象概括,自主建构单调性概念的过程,体会从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程
情感态度价值观:
通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯;感受用辩证的观点思考问题
教学重点:函数单调性的概念形成和初步运用
教学难点:函数单调性的概念形成

4、教学流程示意
5.教学过程
环节 教师活动 学生活动 设计意图

设情境
 
引入新课
 
6
分钟
 
问题1:分别作出函数y=2xy=-2xy=x2+1的图象,并且观察函数变化规律?




 
描述完前两个图象后,明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。 
 
二次函数的增减性要分段说明
提出问题:
二次函数是增函数还是减函数?
 
问题二:能否用自己的理解说说什么是增函数,什么是减函数?
 
观察图象,利用初中的函数增减性质进行描述
学生会指出:
y=2x的图象自变量x在实数集变化时,y随x增大而增大
 
 
 
y=-2x的图象自变量x在实数集变化时,y随x增大而减小
 
 
 
 
y=x2+1在(-∞,0]上y随x增大而减小,在(0,+∞)上y随x增大而增大
 
学生可能回答:既是增函数又是减函数或有时增函数有时减函数
讨论得出:单调性是函数的局部性质
 
结合单调性是局部性质,用直观描述回答:在一个区间里,y随x增大而增大,则是增函数;y随x增大而减小就是减函数
 
 
数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”,因此在本环节的设计上,从学生熟知的一次函数和二次函数入手,从初中对函数增减性的认识过渡到对函数单调性的直观感受。
 
 
 
 
通过一次函数认识单调性,再通过二次函数认识单调性是局部性质,进而完善感性认识。
 
环节 教师活动 学生活动 设计意图
初步探索
 
概念形成
 
8
分钟
问题三:(以y=x2+1在 (0,+∞)上单调性为例)如何用精确的数学语言来描述函数的单调性?
 
分三步:
提问学生什么是“随着”
如何刻画“增大”?
 
对“任取”的理解
 
 
进而得到增(减)函数的定义
 
进一步提问:如何判断
f(x1)<f(x2)
得到求差法后提出记△x= x2-x1
y= f(x2)-f(x1)= y2-y1
学生交流、提出见解,提出质疑,相互补充
 
回归函数定义解释
 
要表示大小关系,学生会想到取点,比大小
 
讨论应该如何取值。学生可能会提到多取一些,也可能会想到将取值区间任意小,进一步讨论得出“任取”二字。
通过启发式提问,实现学生从“图形语言”到 “文字语言”到 “符号语言”认识函数的单调性,实现“形”到“数”的转换。另外,在此强调“任意性”的理解,从而达到突破难点,突出重点的目的。
 
在此还提出求差法比较大小,为后面的证明和判断扫清障碍
概念深化
 
延伸拓展
 
12分钟
问题四:能否说f(x)=在它的定义域上是减函数?
 
从这个例子能得到什么结论?
 
给出例子进行说明: 
 
 
进一步提问:
函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(减)函数,何时函数在AB上也是增(减)函数
 
再一次回归定义,强调任意性
 
思考、讨论,提出自己观点
学生提出反例,如x1=-1,x2=1
 
进一步得出结论:
函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(减)函数,函数在AB不一定是增(减)函数
 
将函数图象进行变形(如x<0时图象向下平移)
 
 
通过上面的问题,学生已经从描述性语言过渡到严谨的数学语言。而对严谨的数学语言学生还缺乏准确理解,因此在这里通过问题深入研讨加深学生对单调性概念的理解。
 
 
环节 教师活动 学生活动 设计意图
   
拓展探究:已知函数

 
(-∞,+∞)上的增函数,求a的取值范围
 
利用单调性定义解决问题
 
 
在问题四的背景下解决本题,体会在运动中满足任意性。
 
证法探究
 
应用定义
 
13
分钟
 
 
例1:证明函数
在(0,+)上是增函数
证明:任取 

 


 

∴函数在(0,+)上是增函数
 
例2:判断函数在(0,+∞)上的单调性
 
进一步提问:如果把(0,+∞)条件去掉,如何解这道题?
(作业)
 
根据单调性定义进行证明
讨论,规范步骤
 
 
设元
 
作差
 
 
变形
 
 
断号
 
 
定论
 
 
 
 
根据定义进行判断
体会判断可转化成证明
 
课后思考
 
本环节是对函数单调性概念的准确应用,本题采用前面出现过的函数,一方面希望学生体会到函数图象和数学语言从不同角度刻画概念,另一方面避免学生遇到障碍,而是把注意力都集中在单调性定义的应用上。
 
课标中指出“形式化是数学的基本特征之一,但不能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真”因此本题不再从证明角度,而是让学生再次从定义出发,寻求方法,并体会转化思想。
小结评价作业创新
6分
从知识、方法两个方面引导学生进行总结.
 
作业(1、2、4必做,3选做)
1、  证明:函数在区间
[0,+∞)上是增函数。
2、课上思考题
3、求函数的单调区间
4、思考P46 探索与研究
 
 
回顾函数单调性定义的探究过程;证明、判断函数单调性的方法步骤;数学思想方法
 
完成课堂反馈
 
 
使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识,体会到数学概念形成的主要三个阶段:直观感受、文字描述和严格定义
 
作业实现分层,满足学生需求
6.学习效果评价设计
学习效果预测:
    在本节课学习中,学生能理解单调性的定义,绝大多数学生能按照单调性的证明步骤进行证明,能判断函数的单调性
 
学习效果评价方式:
1、  课堂反馈:证明:函数在(0,+∞)上是减函数
2、  教师评价:课堂发言反映的思维深度;课堂发现问题的角度、能力;课堂练习的正确性;课堂学习的积极性
3、  学生自评:本节课学习兴趣;独立思考的习惯;合作交流的意识;对知识、方法等收获的程度
7.本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)
1、在情境设置中,严格按照课标要求以二次函数y=x2+1为例,经历画图、描述图象、找单调区间、形成单调性定义、证明其单调性的过程,将学生对单调性的认识从感性上升到理性,并将定义进行应用。
2、在教学过程中,创设一个探索的学习环境,通过设计一系列问题,使概念得到形成和深化,学生亲身经历数学概念的产生与发展过程,从而逐步把握概念的实质内涵,深入理解概念。
3、概念深化时,在研究是否满足任意性时引入函数图象的运动,为前面学习的集合中的运动进行巩固,为后面函数的学习进行铺垫。
4、课标要求“高中数学课程应该返璞归真”,因此在例题的设计中避免了过度形式化,注重问题的多样性,注重学生对概念本质的理解。
5、作业设计既可巩固基础又提供给学生充足的思考空间
 

  高中数学函数单调性教学反思

  函数单调性是函数的一个重要性质,并且学生是头一次接触函数的单调性,陌生感强。函数单调性,单调区间的概念掌握起来有一定困难,特别是增函数、减函数的定义很抽象,学生很难理解,这样会增加学生的负担,不利于学生学习兴趣的激发。因此,在教学的整个过程中,弱化抽象概念的讲解,从具体函数的图象分析入手,使学生对增、减函数有一个直观的印象。进一步,通过分析函数图象的变化趋势,启发学生归纳总结出增、减函数中函数值与自变量之间的变化规律,使学生会熟练的通过函数的图象来判断一个函数是增函数,还是减函数。在次基础上,给出函数单调性,函数单调区间的概念。在课堂上重点训练了学生从函数图象上来判断函数单调区间,以及在每个单调区间上的单调性的能力,从学生的的课堂反应来看,学生能熟练的通过函数的图象来判断函数的单调性,然后用定义证明一个函数是增函数(减函数),整堂课下来,使学生会通过函数图象来判断函数单调性这一目标基本上达到,学生课堂反应积极、热情。当然,其中还是存在了很多的问题,譬如最大的问题就是学生探究还没有放开,教师讲多了。

  在以后的教学中多注意从学生的已有知识和生活经验出发,围绕知识目标展开新知识出现的情境,丰富学生的情感体验,在知识目标得到有效落实的同时,达成能力目标.突出基础知识的应用和基本技能的运用,强化知识目标,培养学生学习数学的情感,在知识应用方面,应强调数学走向生活,解决具有现实意义的生活问题,培养学生的数学建模能力.

  在教学时,我们也要适当使用多媒体教学手段,帮助学生可以更加直观的理解函数的图象变化。

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