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初中数学函数知识点归纳整理

欣怡分享

  函数向来是初中数学的重头戏,但由于难度较大,不少学生在考试时,经常在函数题上丢分严重。为此,以下是学习啦小编分享给大家的初中数学函数知识点,希望可以帮到你!

  初中数学一次函数知识点

  一、定义与定义式

  自变量x和因变量y有如下关系:

  y=kx+b

  则此时称y是x的一次函数。

  特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。即:y=kx (k为常数,k≠0)

  二、一次函数的性质

  1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k 即:y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)

  2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。

  三、一次函数的图像及性质

  1.作法与图形:通过如下3个步骤

  (1)列表;

  (2)描点;

  (3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)

  2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。

  3.k,b与函数图像所在象限:

  当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;

  当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。

  当b>0时,直线必通过一、二象限;

  当b=0时,直线通过原点

  当b<0时,直线必通过三、四象限。

  特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。

  四、确定一次函数的表达式

  已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。

  (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。

  (2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②

  (3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。

  (4)最后得到一次函数的表达式。

  五、一次函数在生活中的应用

  1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。

  2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

  六、常用公式

  1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)

  2.求与x轴平行线段的中点:|x1-x2|/2

  3.求与y轴平行线段的中点:|y1-y2|/2

  4.求任意线段的长:√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 (注:根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)

  初中数学二次函数知识点总结

  I.定义与定义表达式

  一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c

  (a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。

  二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

  II.二次函数的三种表达式

  一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

  顶点式:y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h,k)]

  交点式:y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A(x₁,0)和B(x₂,0)的抛物线]

  注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:

  h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a

  III.二次函数的图像

  在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。

  IV.抛物线的性质

  1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

  对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

  2.抛物线有一个顶点P,坐标为:P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时,P在x轴上。

  3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

  当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。

  4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

  当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;

  当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。

  5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

  抛物线与y轴交于(0,c)

  6.抛物线与x轴交点个数

  Δ=b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。

  Δ=b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

  Δ=b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b^2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)

  V.二次函数与一元二次方程

  特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,

  当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax^2+bx+c=0

  此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

  1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:

  当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,

  当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.

  当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;

  当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

  当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

  当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

  因此,研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

  2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).

  3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时,y随x的增大而减小.

  4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:

  (1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);

  (2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x₁,0)和B(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

  (a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|

  当△=0.图象与x轴只有一个交点;

  当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.

  5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x=-b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

  顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.

  6.用待定系数法求二次函数的解析式

  (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:

  y=ax^2+bx+c(a≠0).

  (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).

  (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0).

  7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.

  初中数学学习方法

  1、配方法

  所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中,用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

  2、因式分解法

  因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

  3、换元法

  换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。

  4、判别式法与韦达定理

  一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R,a≠0)根的判别,△=b2-4ac,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程(组),解不等式,研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

  韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根;已知两个数的和与积,求这两个数等简单应用外,还可以求根的对称函数,计论二次方程根的符号,解对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等

  5、待定系数法

  在解数学问题时,若先判断所求的结果具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数,而后根据题设条件列出关于待定系数的等式,最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系,从而解答数学问题,这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

  6、构造法

  在解题时,我们常常会采用这样的方法,通过对条件和结论的分析,构造辅助元素,它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等,架起一座连接条件和结论的桥梁,从而使问题得以解决,这种解题的数学方法,我们称为构造法。运用构造法解题,可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透,有利于问题的解决。

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